En teoría de probabilidad y estadística, la distribución Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático suizo Jacob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, dónde el valor 1 (éxito) ocurre con la probabilidad p y el valor 0 (fracaso) con la probabilidad q=1-p Si X es una variable aleatoria discreta que mide el "número de éxitos" y se realiza un único experimento con dos posibles resultados denominados éxito y fracaso, se dice que la variable aleatoria Xse distribuye como una Bernoulli de parámetro p con 0<p<1 escribimos X Bernoulli (p).
Es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí con una probabilidad fija p de ocurrencia de éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, solo dos resultados son posibles, a uno de estos se le denomina “éxito” y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le denomina “fracaso” y tiene una probabilidad q=1-p² Si una variable aleatoria discreta X tiene una distribución binomial con parámetros n E N y p con 0<p<1 entonces escribiremos X ~ Bin (n,p).
(José Martínez)
DISTRIBUCIÓN POISSON
Es una distribución de probabilidad discreta y se emplea para describir procesos que pueden ser descritos con una variable aleatoria discreta. Describe situaciones en las cuales los clientes llegan de manera independiente durante un cierto intervalo de tiempo y el número de llegadas depende de la magnitud del intervalo. La distribución de Poisson juega un rol importante en complementar la distribución exponencial en la teoría de colas o modelo de líneas de espera.
Entre los procesos que se pueden describir con la distribución de probabilidad de Poisson están la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en común. Pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros (0,1,2,3,4,5 y así sucesivamente).
La Distribución de Poisson se llama así en honor a Simeón Dennis Poisson (1781-1840), francés que desarrolló esta distribución basándose en estudios efectuados en la última parte de su vida.
El número de enfermos que llegan a un consultorio en cierto intervalo de tiempo será de 0,1,2,3,4,5 o algún otro número entero. De manera análoga, si se cuenta el número de automóviles que llegan a una caseta de cobro durante un periodo de diez minutos, el número será entero. https://www.gestiopolis.com/que-es-la-distribucion-de-poisson/
DISTRIBUCIÓN BETA
Se utiliza la distribución beta para variables aleatorias entre 0 y 1. La distribución beta suele utilizarse para modelar la distribución de estadísticos de orden (por ejemplo, el estadístico de orden késimo de una muestra de variables n uniformes (0, 1) tiene una distribución beta (k, n + 1 – k)) y para modelar eventos que se definen por valos mínimos y máximos. La escala de la distribución beta suele modificarse para modelar el tiempo hasta la culminación de una tarea. La distribución beta también se usa en estadísticas bayesianas, por ejemplo, como la distribución de valores previos de una probabilidad binomial.
La distribución beta es una distribución continua definida por dos parámetros de forma. La distribución puede adoptar diferentes formas dependiendo de los valores de los dos parámetros.
Ambas formas son iguales a 1:
Cuando ambas formas son iguales a 1, la distribución beta es la distribución uniforme:
Ambas formas son menores que 1 cuando ambas formas son menores que 1, la distribución tiene forma de U:
Ambas formas son iguales y son mayores que 1 cuando la distribución es simétrica:
Cuando la primera forma es mayor que la segunda forma, la distribución es asimétrica hacia la izquierda:
Cuando la primera forma es menor que la segunda forma, la distribución es asimétrica hacia la derecha:
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal es una distribución con forma de campana donde las desviaciones estándar sucesivas con respecto a la media establecen valores de referencia para estimar el porcentaje de observaciones de los datos. Estos valores de referencia son la base de muchas pruebas de hipótesis, como las pruebas Z y t.
(Histograma de una distribución normal hipotética).
Puesto que la distribución de estos datos es normal, usted puede determinar exactamente qué porcentaje de los valores está dentro de cualquier rango específico. Por ejemplo, alrededor del 95% de las observaciones está dentro de 2 desviaciones estándar de la media, indicado por el área sombreada en azul. El 95% de los valores se ubicará dentro de 1.96 desviaciones estándar con respecto a la media (entre −1.96 y +1.96). Por lo tanto, menos del 5% (0.05) de las observaciones estará fuera de este rango. Este rango es la base del nivel de significancia de 0.05 que se utiliza para muchas pruebas de hipótesis.
Aproximadamente el 68% de las observaciones está dentro de una 1 desviación estándar de la media (-1 a +1), y alrededor del 99.7% de las observaciones estarían dentro de 3 desviaciones estándar con respecto a la media (-3 a +3).
(Gabriela Pérez)
DISTRIBUCIÓN GAMMA
La distribución gamma es una distribución con dos parámetros que pertenece a las distribuciones de probabilidad continuas. La distribución exponencial, distribución de Erlang y la distribución χ², son casos particulares de la distribución gamma. Hay dos diferentes parametrizaciones que suelen usarse. Es una distribución para modelizar el comportamiento de variables aleatorias con asimetría positiva y los experimentos en donde está involucrado el tiempo.
http://www.scielo.org.co/pdf/
https://es.wikipedia.org/wiki/
DISTRIBUCION BERNOULLI:
a) Definimos los dos valores que puede tomar una variable aleatoria que sigue una distribución de Bernoulli.
Z = 1 si el estudiante de ing. De sistemas obtiene el principal puesto de todos los índices = 1r puesto = ÉXITO.
Z = 0 si el estudiante de ing. De sistemas no obtiene el principal puesto de todos los índices = no 1r puesto = NO ÉXITO.
b) una vez planteado esto, hemos calculado ya las probabilidades mediante la ley de Laplace. El resultado era que p = 1/10 y (1-p)= 0,9.
c) Ahora solo tenemos que sustituir las variables anteriores en la fórmula de la función de distribución.
Calculo de la probabilidad cuando z= 1
Calculo de loa probabilidad cuando z= 0
También se puede expresar como:
Entonces vemos que utilizando una forma o la otra, la probabilidad de éxito, es decir, la probabilidad de que el estudiante de ing. de sistemas quede de primer lugar en el índice académico va a ser siempre p = 1/10 y la probabilidad de no éxito, es decir, la probabilidad de que no quede de primer lugar también será siempre (1-p) = 9/10.
DISTRIBUCION BINOMIAL
Imaginemos que un 80% de estudiantes de la carrera de ing. de sistemas ha visto una nueva innovación dentro del mundo de la programación. Tras ese descubrimiento, 4 amigos se reúnen a conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos sepan de dicha innovación?:
Definamos las variables del experimento:
n = 4 (es el total de la muestra que tenemos)
x = número de éxitos, que en este caso es igual a 3, dado que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos sepan de la innovación.
p = probabilidad de éxito (0,8)
q = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.
Tras definir todas nuestras variables, simplemente sustituimos en la formula.
El numerador del factorial se obtendría de multiplicar 4*3*2*1 = 24 y en el denominador tendríamos 3*2*1*1 = 6. Por lo tanto, el resultado del factorial sería 24/6=4.
Fuera del corchete tenemos dos números. El primero sería 0,8^3=0,512 y el segundo 0,2 (dado que 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).
Por tanto, nuestro resultado final sería: 4*0,512*0,2 = 0,4096. Si multiplicamos por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de que 3 de los 4 amigos sepan de la innovación.
DISTRIBUCION POISSON
Supongamos que el cuerpo de profesores de una universidad es capaz de atender hasta un máximo de 300 alumnos por día. Si el número medio de alumnos diarios es de 250 con distribución de Poisson, ¿Cuál es la probabilidad de que un día determinado no se puedan atender todos los alumnos requeridos? ¿Qué probabilidad existe de que en 31 días haya al menos un día en el que no se puedan atender a todos los alumnos requeridos?:
Si un día no se pueden atender a todos los alumnos requeridos es porque superan la capacidad máxima de 300 alumnos, por tanto, la probabilidad pedida es:
Esta probabilidad puede aproximarse mediante la distribución normal
Si consideramos como éxito el que un día no se puedan atender todos los alumnos requeridos, el número de días D en que esto ocurrirá a lo largo de un mes, vendrá dado por la binomial de parámetros B (31; 0,0008). La probabilidad de que al menos un día no se puedan prestar todos los alumnos solicitados será:
DISTRIBUCION BETA
Si una estudiante de ingeniería de sistemas presenta un examen y se pregunta cuáles son sus posibilidades de pasar. Si su probabilidad de pasar puede modelarse mediante una distribución beta con α = 5 y β = 2, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga como máximo un 10% de posibilidades de pasar? :
Para resolver este problema, queremos usar la fórmula general para resolver probabilidades de una distribución de probabilidad continua.
Sabemos que f ( x ) es la función de densidad para la función beta, pero ¿qué pasa con los límites de integración, una y B ? La función beta se define en el intervalo de 0 a 1, por lo que los límites no pueden estar fuera de ese intervalo. En este caso, queremos saber si tiene como máximo un 10% de posibilidades de ganar. Esto significa que estamos buscando entre 0% y 10%, lo que nos da un límite inferior de integración de 0 y uno superior de 0,1.
Ahora tenemos todo lo que necesitamos para solucionar el problema. Comenzaremos resolviendo la función Beta usando la definición de la función Gamma y simplificando el interior de la integral tanto como sea posible.
Ahora terminamos el problema calculando la integral.
DISTRIBUCION NORMAL:
Se desea clasificar a los examinados en tres grupos de estudiantes de diferentes carreras (de bajo rendimiento, de un rendimiento aceptable y de un excelente rendimiento) de modo que hay en el primero un 20 \% la población, un 65 \% el segundo y un 15 \% en el tercero.
¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro? :
Localizamos en nuestra tabla el parámetro correspondiente a la probabilidad 0.2 \quad (20 \%), el cual es -0.84:
Ahora localizamos en la tabla el parámetro para la probabilidad de 0.85, el cual es 1.04, lo que significa que
Entonces se obtiene que: Bajo rendimiento es hasta 50 puntos. Rendimiento aceptable entre 50 y 84. Excelente rendimiento a partir de 84 puntos.
DISTRIBUCION GAMMA
Considere que el tiempo requerido para resolver el problema resolver un examen por parte de un estudiante de ing. Mecánica que está distribuido gamma en horas con media 1.5 y varianza 0.75, ¿Cuál sería el probabilidad de que el problema el tiempo de resolución excede las 2 horas, si el tiempo excede las 2 horas, cuál sería la probabilidad de que el problema para que se resuelva el examen al menos en 5 horas?
Dado que la variable aleatoria es gamma distribuida con media 1.5 y varianza 0.75 entonces podemos encontrar los valores de alfa y beta y con la ayuda de estos valores la probabilidad será.
DISTRIBUCION GEOMETRICA:
Un ing. Mecánico tiene una probabilidad de 60% de que sus creaciones salgan bien. El ing. Mecánico crea hasta fallar. Encuentra la probabilidad de que un ing. Mecánico cree al menos 4 maquinas:
Para que cree 4 maquinas, tiene que hacer bien 3 de ellas, no importa si pierde o sale bien, en la cuarta maquina porque lo que se está contando es que va a creas 4 máquinas o más, pero para que pueda crear 4 o más tiene que haber ganado sí o sí los anteriores 3 maquinas. Y la probabilidad se calcula de la siguiente manera:
DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
Supongamos una máquina que produce tornillos y los datos acumulados indican que el 1% salen con defectos. Entonces en una caja de N=500 tornillos el número de defectuosos será:
n = 500 * 1/100 = 5.
Supongamos que de esa caja (es decir de esa población) tomamos una muestra de m=60 tornillos. La probabilidad que ningún tornillo (x=0) de la muestra salga defectuoso es 52,63%. A este resultado se llega al usar la función de distribución hipergeométrica:
P(500, 5, 60; 0)= 0,5263
La probabilidad que x=3 tornillos de la muestra salgan defectuosos es: P(500, 5, 60; 3)=0,0129.
Por su parte, la probabilidad de que x=4 tornillos de los sesenta de la muestra salgan defectuosos es: P(500, 5, 60; 4)=0,0008.
Finalmente, la probabilidad que x=5 tornillos en esa muestra salgan con defecto es: P(500, 5, 60; 5)=0.
Pero si se quiere saber la probabilidad de que en esa muestra existan más de 3 tornillos defectuosos, entonces hay que obtener la probabilidad acumulada, sumando:
P(3)+P(4)+P(5)= 0,0129+0,0008+0=0,0137.
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